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高考数学函数与方程必考考点

发表日期:2017-04-22 16:17:49   来源:本站   被阅读[]次

函数的零点

(1)定义:

对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理):

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续?#27426;?#30340;一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

典型例题1:

2

二二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

典型例题2:

3

三二?#22336;?/span>

对于在区间[a,b]上连续?#27426;?#19988;f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过?#27426;系?#25226;函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二?#22336;ǎ?/span>

1、函数的零点不是点:

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的?#27426;?#26159;一个数字,而不是一个坐标.

2、对函数零点存在的判断?#26657;?#24517;须强调:

(1)、f(x)在[a,b]上连续;

(2)、f(a)·f(b)<0;

(3)、在(a,b)内存在零点.

这是零点存在的一个充分条件,但不必要.

3、对于定义域内连续?#27426;?#30340;函数,其相邻两个零点之间的所有函数?#24403;?#25345;同号.典型例题3:

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续?#27426;希?#20877;看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

4

四判断函数零点个数的常用方法

1、解方程法:

令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.

2、零点存在性定理法:

利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续?#27426;?#30340;曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.

3、数形结合法:

转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.

典型例题4:

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法

1、直接法:

直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.

2、分离参数法:

先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.

3、数形结合法:

先对解析式变形,在同一平面直角坐标系?#26657;?#30011;出函数的图象,然后数形结合求解.

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